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線面垂直的定義

更新:2023-09-16 15:57:51 高考升學(xué)網(wǎng)

如果一條直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直,那么這條直線與這個平面垂直。是將“三維”問題轉(zhuǎn)化為“二維”解決是一種重要的立體幾何數(shù)學(xué)思想方法。在處理實際問題過程中,可以先從題設(shè)條件入手,分析已有的垂直關(guān)系,再從結(jié)論入手分析所要證明的重要垂直關(guān)系,從而架起已知與未知的“橋梁”。

線面垂直的證明過程

設(shè)有一直線l與面S上兩條相交直線AB、CD都垂直,則l⊥面S

假設(shè)l不垂直于面S,則要么l∥S,要么斜交于S且夾角不等于90。

當(dāng)l∥S時,則l不可能與AB和CD都垂直。這是因為當(dāng)l⊥AB時,過l任意作一個平面R與S交于m,則由線面平行的性質(zhì)可知m∥l

∴m⊥AB

又∵l⊥CD

∴m⊥CD

∴AB∥CD,與已知條件矛盾。

當(dāng)l斜交S時,過交點在S內(nèi)作一直線n⊥l,則n和l構(gòu)成一個新的平面T,且T和S斜交(若T⊥S,則n是兩平面交線。由面面垂直的性質(zhì)可知l⊥S,與l斜交S矛盾)。

∵l⊥AB

∴AB∥n

∵l⊥CD

∴CD∥n

∴AB∥CD,與已知條件矛盾。

綜上,l⊥S

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