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如果一條直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直,那么這條直線與這個平面垂直。是將“三維”問題轉(zhuǎn)化為“二維”解決是一種重要的立體幾何數(shù)學(xué)思想方法。在處理實際問題過程中,可以先從題設(shè)條件入手,分析已有的垂直關(guān)系,再從結(jié)論入手分析所要證明的重要垂直關(guān)系,從而架起已知與未知的“橋梁”。
設(shè)有一直線l與面S上兩條相交直線AB、CD都垂直,則l⊥面S
假設(shè)l不垂直于面S,則要么l∥S,要么斜交于S且夾角不等于90。
當(dāng)l∥S時,則l不可能與AB和CD都垂直。這是因為當(dāng)l⊥AB時,過l任意作一個平面R與S交于m,則由線面平行的性質(zhì)可知m∥l
∴m⊥AB
又∵l⊥CD
∴m⊥CD
∴AB∥CD,與已知條件矛盾。
當(dāng)l斜交S時,過交點在S內(nèi)作一直線n⊥l,則n和l構(gòu)成一個新的平面T,且T和S斜交(若T⊥S,則n是兩平面交線。由面面垂直的性質(zhì)可知l⊥S,與l斜交S矛盾)。
∵l⊥AB
∴AB∥n
∵l⊥CD
∴CD∥n
∴AB∥CD,與已知條件矛盾。
綜上,l⊥S
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