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sinx的平方是偶函數(shù),f(-x)=sin2(-x)=(-sinx)2=sin2x=f(x)所以f(x)=sin2x是偶函數(shù)。一般地,如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意的一個x,都有f(x)=f(-x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。
(1) 兩個偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù)
(2) 兩個奇函數(shù)相加所得的和為奇函數(shù)
(3) 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù)
(4) 兩個偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù)
(5) 兩個奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù)
(6) 一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù)
(7)奇函數(shù)一定滿足f(0)=0(因為F(0)這個表達式表示0在定義域范圍內(nèi),F(xiàn)(0)就必須為0)所以不一定奇函數(shù)有f(0),但有F(0)時F(0)必須等于0,不一定有f(0)=0,推出奇函數(shù),此時函數(shù)不一定為奇函數(shù),例f(x)=x^2
(8)定義在R上的奇函數(shù)f(x)必滿足f(0)=0;因為定義域在R上,所以在x=0點存在f(0),要想關(guān)于原點對稱,在原點又只能取一個y值,只能是f(0)=0。這是一條可以直接用的結(jié)論:當x可以取0,f(x)又是奇函數(shù)時,f(0)=0)
(9)當且僅當f(x)=0(定義域關(guān)于原點對稱)時,f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
(10) 在對稱區(qū)間上,被積函數(shù)為奇函數(shù)的定積分為零
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