有界。正弦函數(shù)sinx滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，|sinx|≤1。所以，|sin(1/x)|≤1。有界函數(shù)并不一定是連續(xù)的。根據(jù)定義，?在D上有上（下）界，則意味著值域?(D)是一個(gè)有上（下）界的數(shù)集。

sin1/x有界

|f(x)|=|sin（1/x）|<=1，所以是有界的。

有界函數(shù)乘以無(wú)窮小=無(wú)窮小，所以后面這個(gè)函數(shù)趨向0。

|xsin(1/x)|<=|x|(因?yàn)閨sin（1/x）|<=1)，而|x|極限為0，那么前面這個(gè)也為0。

什么是有界

若存在兩個(gè)常數(shù)m和M，使函數(shù)y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D 。則稱函數(shù)y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

關(guān)于函數(shù)的有界性．應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

(1)函數(shù)在某區(qū)間上不是有界就是無(wú)界，二者必屬其一；

(2)從幾何學(xué)的角度很容易判別一個(gè)函數(shù)是否有界(見圖2)．如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函數(shù)的圖形介于它們之間，那么函數(shù)一定是無(wú)界的。